二元Logistic回归案例分析

   二元Logistic，从字面上其实就可以理解大概是什么意思，Logistic中文意思为“逻辑”但是这里，并不是逻辑的意思，而是通过logit变换来命名的，二元一般指“两种可能性”就好比逻辑中的“是”或者“否”一样，

Logistic 回归模型的假设检验——常用的检验方法有似然比检验（likelihood ratio test） 和 Wald检验）
似然比检验的具体步骤如下：

1：先拟合不包含待检验因素的Logistic模型，求对数似然函数值INL0         

2：再拟合包含待检验因素的Logistic模型，求新的对数似然函数值InL1

3: 最后比较两个对数似然函数值的差异，若两个模型分别包含l个自变量和P个自变量，记似然比统计量G的计算公式为 G=2(InLP - InLl). 在零假设成立的条件下，当样本含量n较大时，G统计量近似服从自由度为 V = P-l 的 x平方分布，如果只是对一个回归系数（或一个自变量）进行检验，则 v=1.

wald 检验，用u检验或者X平方检验，推断各参数βj是否为0，其中u= bj / Sbj,  X的平方=（bj / Sbj),  Sbj 为回归系数的标准误

   这里的“二元”主要针对“因变量”所以跟“曲线估计”里面的Logistic曲线模型不一样，二元logistic回归是指因变量为二分类变量是的回归分 析，对于这种回归模型，目标概率的取值会在（0-1），但是回归方程的因变量取值却落在实数集当中，这个是不能够接受的，所以，可以先将目标概率做 Logit变换，这样它的取值区间变成了整个实数集，再做回归分析就不会有问题了，采用这种处理方法的回归分析，就是Logistic回归

设因变量为y, 其中“1” 代表事件发生， “0”代表事件未发生，影响y的 n个自变量分别为 x1,  x2 ,x3 xn等等

记事件发生的条件概率为 P

那么P=   事件未发生的概理为 1-P

事件发生跟”未发生的概率比 为( p / 1-p ) 事件发生比，记住Odds

将Odds做对数转换，即可得到Logistic回归模型的线性模型：

     还是以教程“blankloan.sav"数据为例，研究银行客户贷款是否违约（拖欠）的问题，数据如下所示：

上面的数据是大约700个申请贷款的客户，我们需要进行随机抽样，来进行二元Logistic回归分析，上图中的“0”表示没有拖欠贷款，“1”表示拖欠贷款，接下来，步骤如下：

   1：设置随机抽样的随机种子，如下图所示：

选择“设置起点”选择“固定值”即可，本人感觉200万的容量已经足够了，就采用的默认值，点击确定，返回原界面、

 2：进行“转换”—计算变量“生成一个变量（validate)，进入如下界面：

在数字表达式中，输入公式：rv.bernoulli（0.7），这个表达式的意思为：返回概率为0.7的bernoulli分布随机值

如果在0.7的概率下能够成功，那么就为1，失败的话，就为"0"

  为了保持数据分析的有效性，对于样本中“违约”变量取缺失值的部分，validate变量也取缺失值，所以，需要设置一个“选择条件”

  点击“如果”按钮，进入如下界面：

如果“违约”变量中，确实存在缺失值，那么当使用"missing”函数的时候，它的返回值应该为“1”或者 为“true"， 为了剔除”缺失值“所以，结果必须等于“0“  也就是不存在缺失值的现象 

点击 ”继续“按钮，返回原界面，如下所示：

   将是“是否曾经违约”作为“因变量”拖入因变量选框，分别将其他8个变量拖入“协变量”选框内， 在方法中，选择：forward.LR方法

将生成的新变量“validate" 拖入"选择变量“框内，并点击”规则“设置相应的规则内容，如下所示：

设置validate 值为1，此处我们只将取值为1的记录纳入模型建立过程，其它值（例如：0）将用来做结论的验证或者预测分析，当然你可以反推，采用0作为取值记录

点击继续，返回，再点击“分类”按钮，进入如下页面

在所有的8个自变量中，只有“教育水平”这个变量能够作为“分类协变量” 因为其它变量都没有做分类，本例中，教育水平分为：初中，高中，大专，本科，研究生等等,  参考类别选择：“最后一个”   在对比中选择“指示符”  点击继续按钮，返回

再点击—“保存”按钮，进入界面：

 在“预测值"中选择”概率， 在“影响”中选择“Cook距离” 在“残差”中选择“学生化”

点击继续，返回，再点击“选项”按钮，进入如下界面：

点击继续，再点击确定，可以得出分析结果了

分析结果如下：

1： 在“案例处理汇总”中可以看出：选定的案例489个，未选定的案例361个，这个结果是根据设定的validate = 1得到的，在“因变量编码”中可以看出“违约”的两种结果“是”或者“否” 分别用值“1“和“0”代替， 在“分类变量编码”中教育水平分为5类， 如果选中“为完成高中，高中，大专，大学等，其中的任何一个，那么就取值为 1，未选中的为0，如果四个都未被选中，那么就是”研究生“ 频率分别代表了处在某个教育水平的个数，总和应该为 489个

1：在“分类表”中可以看出： 预测有360个是“否”（未违约） 有129个是“是”（违约）

2：在“方程中的变量”表中可以看出：最初是对“常数项”记性赋值，B为-1.026， 标准误差为：0.103

那么wald =( B/S.E)²=(-1.026/0.103)² = 99.2248, 跟表中的“100.029几乎接近，是因为我对数据进行的向下舍入的关系，所以数据会稍微偏小，

B和Exp(B) 是对数关系，将B进行对数抓换后，可以得到：Exp(B) = e^-1.026 = 0.358,  其中自由度为1， sig为0.000，非常显著

1：从“不在方程中的变量”可以看出，最初模型，只有“常数项”被纳入了模型，其它变量都不在最初模型内

表中分别给出了，得分，df ,  Sig三个值, 而其中得分（Score)计算公式如下：

 （公式中 （Xi- X¯) 少了一个平方）

下面来举例说明这个计算过程：(“年龄”自变量的得分为例）

   从“分类表”中可以看出：有129人违约，违约记为“1”   则 违约总和为 129， 选定案例总和为489

那么： y­­­¯ = 129/489 = 0.2638036809816

            x­¯ = 16951 / 489 = 34.664621676892

所以：∑(Xi-x­¯)² = 30074.9979

          y¯（1-y¯）=0.2638036809816  *（1-0.2638036809816 ）=0.19421129888216

则：y¯（1-y¯）*  ∑(Xi-x­¯)² =0.19421129888216 * 30074.9979 = 5 840.9044060372

则：[∑Xi(yi - y¯）]^2 = 43570.8

 所以：

=43570.8 / 5 840.9044060372 = 7.4595982010876 = 7.46 （四舍五入）

计算过程采用的是在 EXCEL 里面计算出来的，截图如下所示：

从“不在方程的变量中”可以看出，年龄的“得分”为7.46，刚好跟计算结果吻合！！答案得到验证~！！！！

1:从“块1” 中可以看出：采用的是：向前步进 的方法， 在“模型系数的综合检验”表中可以看出： 所有的SIG 几乎都为“0”   而且随着模型的逐渐步进，卡方值越来越大，说明模型越来越显著，在第4步后，终止，

  根据设定的显著性值 和  自由度，可以算出 卡方临界值， 公式为：=CHIINV(显著性值,自由度)  ，放入excel就可以得到结果

2：在“模型汇总“中可以看出：Cox&SnellR方  和 Nagelkerke R方 拟合效果都不太理想，最终理想模型也才：0.305 和 0.446，

最大似然平方的对数值 都比较大，明显是显著的

似然数对数计算公式为：

计算过程太费时间了，我就不举例说明 计算过程了

Cox&SnellR方的计算值 是根据：

1：先拟合不包含待检验因素的Logistic模型，求对数似然函数值INL0        （指只包含“常数项”的检验）

2：再拟合包含待检验因素的Logistic模型，求新的对数似然函数值InLB      （包含自变量的检验）

再根据公式：        即可算出：Cox&SnellR方的值！

提示： 将Hosmer 和 Lemeshow 检验 和“随机性表” 结合一起来分析

1：从 Hosmer 和 Lemeshow 检验表中，可以看出：经过4次迭代后，最终的卡方统计量为：11.919， 而临界值为：CHINV(0.05,8) = 15.507

卡方统计量< 临界值，从SIG 角度来看： 0.155 > 0.05 , 说明模型能够很好的拟合整体，不存在显著的差异。

2：从Hosmer 和 Lemeshow 检验随即表中可以看出： ”观测值“和”期望值“几乎是接近的，不存在很大差异，说明模型拟合效果比较理想，印证了“Hosmer 和 Lemeshow 检验”中的结果

而“Hosmer 和 Lemeshow 检验”表中的“卡方”统计量，是通过“Hosmer 和 Lemeshow 检验随即表”中的数据得到的（即通过“观测值和”预测值“）得到的，计算公式如下所示：

x²（卡方统计量） =  ∑（观测值频率- 预测值频率）^2 / 预测值的频率

举例说明一下计算过程：以计算 "步骤1的卡方统计量为例 "

1：将“Hosmer 和 Lemeshow 检验随即表”中“步骤1 ”  的数据，复制到 excel 中，得到如下所示结果：

从“Hosmer 和 Lemeshow 检验”表中可以看出， 步骤1 的卡方统计量为：7.567，  在上图中，通过excel计算得到，结果为 7.566569  ~~7.567 （四舍五入），结果是一致的，答案得到验证！！

1：从“分类表”—“步骤1” 中可以看出： 选定的案例中，“是否曾今违约”总计：489个，其中 没有违约的 360个，并且对360个“没有违约”的客户进行了预测，有 340个预测成功，20个预测失败，预测成功率为：340 / 360 =94.4%

  其中“违约”的有189个，也对189个“违约”的客户进行了预测，有95个预测失败， 34个预测成功，预测成功率：34 / 129 = 26.4%

总计预测成功率：（340 + 34）/ 489 = 76.5%

  步骤1 的 总体预测成功率为：76.5%， 在步骤4终止后，总体预测成功率为：83.4，预测准确率逐渐提升 76.5%—79.8%—81.4%—83.4。 83.4的预测准确率，不能够算太高，只能够说还行。

从“如果移去项则建模”表中可以看出：“在-2对数似然中的更改” 中的数值是不是很眼熟？？？，跟在“模型系数总和检验”表中“卡方统计量"量的值是一样的！！！

   将“如果移去项则建模”和 “方程中的变量”两个表结合一起来看

1：在“方程中的变量”表中可以看出： 在步骤1中输入的变量为“负债率”  ，在”如果移去项则建模“表中可以看出，当移去“负债率”这个变量时，引起了74.052的数值更改，此时模型中只剩下“常数项”-282.152为常数项的对数似然值

  在步骤2中，当移去“工龄”这个自变量时，引起了44.543的数值变化（简称：似然比统计量），在步骤2中，移去“工龄”这个自变量后，还剩下“负债 率”和“常量”，此时对数似然值 变成了：-245.126，此时我们可以通过公式算出“负债率”的似然比统计量：计算过程如下：

似然比统计量 = 2（-245.126+282.152）=74.052      答案得到验证！！！

2：在“如果移去项则建模”表中可以看出：不管移去那一个自变量，“更改的显著性”都非常小，几乎都小于0.05，所以这些自变量系数跟模型显著相关，不能够剔去！！

3：根据" 方程中的变量“这个表，我们可以得出 logistic 回归模型表达式：

=   1 / 1+ e^-(a+∑βI*Xi)          我们假设 Z =   那么可以得到简洁表达式：

P(Y) = 1 / 1+e^ (-z)

将”方程中的变量“ —步骤4中的参数代入 模型表达式中，可以得到  logistic回归 模型 如下所示：

P(Y) = 1 / 1 + e ^ -（-0.766+0.594*信用卡负债率+0.081*负债率-0.069*地址-0.249*功龄） 

从”不在方程中的变量“表中可以看出： 年龄，教育，收入，其它负债，都没有纳入模型中，其中：sig 值都大于 0.05，所以说明这些自变量跟模型显著不相关。

  在”观察到的组和预测概率图”中可以看出：

1：the Cut Value is 0.5,   此处以 0.5 为切割值，预测概率大于0.5，表示客户“违约”的概率比较大，小于0.5表示客户“违约”概率比较小。

2： 从上图中可以看出：预测分布的数值基本分布在“左右两端”在大于0.5的切割值中，大部分都是“1” 表示大部分都是“违约”客户，（ 大约230个违约客户） 预测概率比较准，而在小于0.5的切割值中，大部分都是“0” 大部分都是“未违约”的客户，（大约500多个客户，未违约） 预测也很准

在运行结束后，会自动生成多个自变量，如下所示：

 1：从上图中可以看出，已经对客户“是否违约”做出了预测，上面用颜色标记的部分-PRE_1 表示预测概率，

上面的预测概率，可以通过 前面的 Logistic 回归模型计算出来，计算过程不演示了

2：COOK_1  和 SRE_1 的值可以跟 预测概率（PRE_1) 进行画图，来看 COOK_1 和 SRE_1 对预测概率的影响程度，因为COOK值跟模型拟合度有一定的关联，发生奇异值，会影响分析结果。如果有太多奇异值，应该单独进行深入研究！